有理数と等比級数

有理数と等比級数

昨日3月11日発売の『数学セミナー』2017年4月号の「エレガントな解答をもとむ<解答>」で、私の解答が本文中で紹介されました。

『数学セミナー』2017年4月号これは、1月号に出題された問題で、熱心な中学2年生からのある質問に対してエレガントに解答してください、というものでした。私自身、若い人に様々な数学の概念を、要求される予備知識を最小限にして(要するになるべく平易に)説明することはとても重要なことと思っているので、こういう問題で私の解答が評価されたのは本当にうれしく思います。本文中で私の名前を5回も挙げて、随所に私の解答を引用してくださり、正解者の中でも特に「エクセレント」と評価された2名のうちに挙げてくださいました。これは、十代の頃に送った解答が「最高にエレガント」と評価されて以来のことで、大変ありがたく思います。

熱心な中学2年生からの質問は、

$\displaystyle\frac{1}{49}$ を小数に直すと、

$\displaystyle\frac{1}{49} = 0.02040816326530612244897959 \cdots $
  $= 0.02 + 0.0004 + 0.000008 + 0.00000016 + 0.0000000032 + \cdots$

というふうに、2の冪乗を2桁ずつずらした形の和として表わせそうだが、これはなぜか? もっと一般に、循環小数は必ずこれと似たような形の和に表すことができるのか? 表すことができる場合とそうでない場合があるなら、それができるのはどのような場合か?

というものです。この質問に対して、中学生の知識で理解できる形での完全な解答を考えてみました。

『数学セミナー』4月号の解説は実は私の解答と異なる部分があり、ちょっと疑問に思う点があるので、問い合わせてみようと思います。後日、返ってきた結果も含めて報告します。興味のある方は、現在発売されている『数学セミナー』4月号の86ページから91ページをお読みいただき、コメントをいただけるとありがたいです。

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